Les équations du second degré — prochaine révision privée

Comprendre

Comment savoir combien de solutions réelles peut avoir une équation du second degré ?

Prérequis : calcul littéral, carré d’un nombre, produit nul.

Pour vérifier une solution, remplace x par sa valeur dans l’équation de départ et compare les deux membres.

Une équation du second degré s’écrit sous la forme suivante, où a, b et c sont réels. Comme a ≠ 0, le terme en x² est présent. Ici, nous étudions les cas x²=k et les équations que l’on sait factoriser ; la méthode générale viendra plus tard.

ax^2+bx+c=0\qquad(a\ne0)

Pour résoudre x² = k dans les réels, on distingue trois cas selon le signe de k.

Si k > 0, on note √k le nombre positif dont le carré vaut k. Un nombre et son opposé ont le même carré : il y a deux solutions.

k>0\quad\Longrightarrow\quad x=-\sqrt{k}\;\text{ ou }\;x=\sqrt{k}

Si k = 0, seul zéro a un carré nul. Il y a une seule solution.

k=0\quad\Longrightarrow\quad x=0

Si k < 0, il n’y a aucune solution réelle : le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.

k<0\quad\Longrightarrow\quad S=\varnothing

La lettre S désigne l’ensemble des solutions. Le symbole ∅ signifie « ensemble vide » : aucune valeur réelle ne convient.

On utilisera aussi le produit nul : si x(x-3)=0, alors x=0 ou x=3. On ne divise pas par x, sinon on risque de perdre la solution x=0.

Courbe de y=x^2 et niveau k pour visualiser selon k le nombre de solutions de x^2=k.

S’entraîner

Exercice · à toi de jouer

Résoudre dans R : x²=9 puis x²=0.

Indice 1

Pour x²=9, cherche les nombres dont le carré vaut 9.

Indice 2

Pour x²=0, un seul nombre convient.

Comprendre la correction

Pour x²=9, les deux nombres de carré 9 sont -3 et 3, donc on garde les deux solutions. Pour x²=0, seul 0 convient, car 0²=0.

S_9=\{-3;3\}

S_0=\{0\}

Exercice · à toi de jouer

Résoudre dans R : x²=-5.

Indice 1

Compare le signe de x² et celui de -5.

Indice 2

Un carré réel est toujours positif ou nul.

Comprendre la correction

Pour tout réel x, on a x²≥0. Il est donc impossible que x²=-5, car -5 est négatif : l’équation n’a aucune solution réelle.

S=\varnothing

Exercice · à toi de jouer

Résoudre dans R : x²=3x, sans diviser par x.

Indice 1

Ramène tout dans le même membre.

Indice 2

Factorise par x, puis utilise le produit nul.

Comprendre la correction

On écrit x²-3x=0, puis on factorise : x(x-3)=0. Par produit nul, x=0 ou x=3 ; on garde bien x=0, qu’on perdrait en divisant par x.

S=\{0;3\}

Exercice · à toi de jouer

Un rectangle a pour largeur x cm et pour longueur x+3 cm, avec x>0. Son aire vaut 28 cm². Déterminer ses dimensions.

Indice 1

Traduis l’aire par un produit égal à 28.

Indice 2

Résous l’équation puis vérifie la condition x>0.

Comprendre la correction

L’aire donne x(x+3)=28, soit x²+3x−28=0, donc (x+7)(x−4)=0. L’équation seule a deux racines algébriques :

x=-7\quad\text{ou}\quad x=4

Dans ce problème, x>0 : −7 est exclu et seule la valeur x=4 convient. Le rectangle mesure donc 4 cm × 7 cm.