Avant de commencer
Tu utiliseras les tables de multiplication, les nombres entiers et la division avec reste, que nous rappelons dans le cours. Pour suivre la preuve générale, tu apprendras aussi à lire une lettre comme un nombre, à comprendre 6m comme 6 × m et à regrouper un facteur commun grâce à la distributivité. Ces trois outils sont expliqués au moment où ils servent. Si les lettres sont encore nouvelles pour toi, commence par les paquets et les explications en mots, puis reviens à la preuve après avoir travaillé la distributivité. Tu peux étudier cette leçon en plusieurs séances : comprendre, chercher les exercices, puis reprendre une difficulté.
1. Découvrir
Une question pour commencer
Tu as 84 jetons. Tu veux tous les ranger en paquets contenant le même nombre de jetons.
Peut-on faire des paquets de 6, sans reste ?
Peut-on faire des paquets de 8, sans reste ?
Quelle multiplication permet de justifier chaque réponse ?
Prends un moment pour chercher. Un dessin, une table de multiplication ou une division peuvent t'aider.
Lire le schéma. Chaque cadre représente un paquet et chaque point un jeton. En haut, les 14 cadres de 6 contiennent les 84 jetons. En bas, les 10 cadres de 8 n'en contiennent que 80 : il en reste 4, trop peu pour remplir un autre paquet de 8.
Un peu d’histoire
Partager une quantité en groupes identiques et mesurer une longueur avec une même unité conduisent à une question commune : « Combien de fois cette quantité contient-elle exactement l'autre ? »
Dans le livre VII des Éléments d'Euclide, consacré à l'arithmétique, la notion de multiple est déjà liée à celle d'une quantité qui en « mesure » exactement une autre. Nous ne lui attribuons pas l'invention du partage : ce texte organise des définitions et des raisonnements. Aujourd'hui, nous exprimons cette idée par une multiplication entre entiers. Source : Éléments, livre VII, définitions 3 à 5, édition commentée de D. E. Joyce, Clark University.
2. Comprendre
Multiples et diviseurs : deux façons de lire un produit
L'égalité suivante donne une réponse exacte :
On peut donc dire « 84 est un multiple de 6 », « 6 est un diviseur de 84 » ou « 84 est divisible par 6 ». Ces trois phrases expriment la même relation. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. Le nombre 14 est lui aussi un diviseur de 84, puisque l'on peut échanger les facteurs : 84 = 14 × 6.
Nous utilisons deux ensembles de nombres : ℕ, les entiers naturels 0, 1, 2, 3… ; et ℤ, les entiers relatifs …, −2, −1, 0, 1, 2… Un entier n'a pas de partie fractionnaire : 14 en est un, 10,5 n'en est pas un.
Définition
Le cadre de cette leçon. Nous étudions les multiples d'un entier b non nul, c'est-à-dire différent de zéro, et nous choisissons toujours des diviseurs non nuls. Le cas des multiples de zéro existe aussi : ils valent tous 0, puisque 0 × k = 0 pour tout entier k ; nous le laissons de côté pour la suite.
Des nombres aux lettres. Dans 84 = 6 × 14, on peut nommer a = 84, b = 6 et k = 14. Les lettres permettent ensuite de décrire d'autres exemples avec la même relation : a est le nombre étudié, b le diviseur envisagé et k le facteur entier qui les relie. Pour deux entiers a et b, avec b non nul :
Dans notre exemple : a = 84, b = 6 et k = 14 ; a = b × k s'écrit donc 84 = 6 × 14. La lettre k représente un entier que l'on cherche ou que l'on choisit : il faut qu'il existe un entier k qui rende l'égalité vraie. Le symbole ⇔ signifie « si et seulement si » : chacune des deux affirmations permet de conclure l'autre. Dire que a est un multiple de b revient aussi à dire que b est un diviseur de a.
Ainsi, 84 = 8 × 10,5 ne prouve pas que 8 divise 84 : 10,5 n'est pas un entier. En revanche, −18 = 6 × (−3) montre que −18 est un multiple de 6.
Reconnaître la divisibilité grâce au reste
Pour diviser un entier naturel a par un entier strictement positif b, on cherche des entiers naturels q et r tels que :
C'est la division euclidienne. Le nombre q est le quotient entier, c'est-à-dire le nombre de paquets complets ; r est le reste. La double inégalité se lit : « r est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à b ». Le reste peut donc être nul, mais il ne reste jamais assez d'objets pour former un paquet supplémentaire.
Propriété
Exemple expliqué : 84 est-il divisible par 8 ?
Cherchons les multiples de 8 autour de 84 : 8 × 10 = 80 et 8 × 11 = 88.
Dix paquets sont possibles, mais onze demanderaient trop de jetons. Le quotient entier est donc 10.
Calculons le reste : 84 − 80 = 4. Nous avons 84 = 8 × 10 + 4, avec 0 ≤ 4 < 8.
Le reste n'est pas nul : 84 n'est pas divisible par 8. Dix paquets complets utilisent 80 jetons et laissent 4 jetons.
Deux quotients, deux lectures. Le quotient entier q = 10 compte les paquets complets ; le reste r = 4 compte les jetons qui ne remplissent pas un paquet. Le quotient ordinaire 84 ÷ 8 = 10,5 est le résultat exact de la division : 84/8 = 10 + 4/8. Le 0,5 correspond à un demi-paquet, pas à un paquet complet supplémentaire.
Repères : quelles conditions utiliser ?
Multiples et diviseurs dans cette leçon : a, b et k sont des entiers relatifs ; b est non nul. Le facteur k peut être nul ou négatif.
Division euclidienne ici : a est un entier naturel, b un entier strictement positif, et q et r sont naturels avec 0 ≤ r < b.
Liste de diviseurs strictement positifs : on retient seulement les diviseurs supérieurs à zéro. Les multiples dans ℤ peuvent, eux, être négatifs, nuls ou positifs.
Construire des multiples et trouver des diviseurs
Pour obtenir des multiples de 6, on multiplie 6 par différents entiers. Sur la droite, on avance ou on recule par pas de 6 :
Lire le schéma. Les points marqués sont des multiples de 6. Il existe aussi des points entre eux, mais ils ne sont pas marqués ici. La suite des multiples continue dans les deux sens. À partir d'un multiple strictement positif de 6, on en obtient un plus grand en ajoutant 6.
Pour chercher les diviseurs strictement positifs de 24, donc supérieurs à zéro, on cherche au contraire les multiplications de deux entiers strictement positifs qui donnent 24 :
Cela donne 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Voici les premiers essais ; chaque succès apporte les deux facteurs de la paire.
Nombre testé : 1 ; Calcul : 24 = 1 × 24 ; Ce que l'on retient : 1 et 24
Nombre testé : 2 ; Calcul : 24 = 2 × 12 ; Ce que l'on retient : 2 et 12
Nombre testé : 3 ; Calcul : 24 = 3 × 8 ; Ce que l'on retient : 3 et 8
Nombre testé : 4 ; Calcul : 24 = 4 × 6 ; Ce que l'on retient : 4 et 6
Nombre testé : 5 ; Calcul : 24 = 5 × 4 + 4 ; Ce que l'on retient : 5 n'est pas un diviseur
Pourquoi peut-on s'arrêter ? Si une paire n'avait pas encore été trouvée, aucun de ses facteurs ne pourrait être 1, 2, 3 ou 4 : ces essais sont faits. Ses deux facteurs seraient donc au moins égaux à 5, et leur produit serait au moins 5 × 5 = 25. Ils ne pourraient pas donner 24. Notre liste est complète. Tester tous les entiers de 1 à 24 serait également une méthode correcte, mais plus longue.
Quelques repères utiles. Pour tout entier strictement positif n, 1 et n divisent n. Zéro est un multiple de tout entier non nul b, car 0 = b × 0. Dans cette leçon, un diviseur est toujours choisi non nul : nous ne divisons jamais par zéro. Si l'on demande les diviseurs strictement positifs, on ne liste ni zéro ni les négatifs ; si l'on demande les multiples dans ℤ, les négatifs comptent aussi.
Comprendre pourquoi une somme de multiples reste un multiple
Imaginons 3 paquets de 6 et 2 autres paquets de 6. Les réunir donne 5 paquets de 6 :
Le dessin explique le mécanisme : on additionne le nombre de paquets, leur taille reste 6. Appelons m le nombre de paquets du premier groupe et n celui du second ; ce sont ici des entiers naturels. La distributivité permet de regrouper le facteur commun 6 : on garde la taille des paquets et on additionne leurs nombres. Écrivons d'abord tous les signes de multiplication :
Une écriture plus courte. Devant une lettre ou une parenthèse, on peut omettre le signe × : 6 × m s'écrit 6m, 6 × n s'écrit 6n et 6 × (m+n) s'écrit 6(m+n). La même égalité devient donc 6m + 6n = 6(m+n). Comme m+n est un entier, le résultat est bien 6 multiplié par un entier, donc un multiple de 6. La distributivité reste vraie pour des entiers relatifs : l'argument algébrique fonctionne aussi lorsque m ou n est négatif, même si les paquets illustrent seulement le cas positif.
Propriété
Le nombre 6 n'a rien de particulier ici : avec un même entier non nul b, on obtient bm + bn = b(m+n). Il faut que les deux nombres soient multiples du même entier. Additionner un multiple de 6 et un nombre quelconque ne suffit pas.
Les erreurs fréquentes
Inverser les mots. 6 est un diviseur de 84, tandis que 84 est un multiple de 6. Appuie-toi sur 84 = 6 × 14 pour retrouver le sens.
Accepter un facteur non entier. Toute division par un nombre non nul donne un quotient, mais la divisibilité exige un quotient entier.
Confondre essais et preuve. Vérifier 18 + 12 = 30 donne un exemple. L'écriture 6m + 6n = 6(m+n) explique pourquoi cela fonctionne pour tous les entiers m et n.
3. L’essentiel à retenir
La relation essentielle, pour des entiers a et b avec b non nul :
Multiple ou diviseur ? Le même produit relie les deux mots : 84 est un multiple de 6 ; 6 est un diviseur de 84.
Comment décider ? Cherche un facteur entier ou effectue une division euclidienne : un reste nul prouve la divisibilité.
Comment trouver tous les diviseurs strictement positifs ? Cherche les paires de facteurs, puis vérifie que toutes les petites valeurs possibles ont été examinées, comme pour 24.
Comment raisonner ? Pour une somme de multiples d'un même entier b, regroupe le facteur commun : bm + bn = b(m+n).
Quand s'en servir ? Pour partager sans reste, organiser des groupes ou acheter des paquets entiers. Dans une situation réelle, vérifie aussi les contraintes de quantité, de coût et de contenu.
Pour te situer, essaie de reformuler la définition sans lire, de justifier une divisibilité et d'expliquer le raisonnement sur la somme. Si un point résiste, reprends le schéma ou l'exemple correspondant. Lors d'une prochaine séance, choisis toi-même deux nombres et vérifie si l'un divise l'autre : l'objectif est de retrouver la démarche sans modèle immédiat.
4. S’entraîner
Cherche avant d'ouvrir les corrigés. Les indices donnent une piste, pas une obligation de méthode.
Exercice 1 — Employer les bons mots
Démarche : compléter le vocabulaire et justifier par un produit entier. À partir de 56 = 7 × 8, complète et justifie :
56 est un … de 7.
8 est un … de 56.
« 7 est un multiple de 56 » : vrai ou faux ?
Indice 1 : relis les trois phrases équivalentes du cours. Indice 2 : pour la dernière phrase, cherche si 7 = 56 × k avec k entier.
Comprendre la correction
56 est un multiple de 7, car 56 = 7 × 8 et 8 est un entier.
8 est un diviseur de 56, car 56 = 8 × 7 et 7 est un entier.
La phrase est fausse : 7 ÷ 56 = 1/8, qui est strictement compris entre 0 et 1 : ce n'est donc pas un entier. L'égalité de départ exprime la relation dans l'autre sens. Écrire simplement « faux » ne suffit pas : c'est le facteur entier qui permet de décider.
Exercice 2 — Le reste compte
Démarche : calculer, puis interpréter le reste. Pour chacun des couples (95 ; 5), (95 ; 6) et (96 ; 6), écris la division euclidienne du premier nombre par le second. Donne le quotient entier, le reste et une conclusion sur la divisibilité.
Indice 1 : cherche deux multiples consécutifs qui encadrent le premier nombre. Indice 2 : vérifie que le reste est positif ou nul et plus petit que le diviseur.
Comprendre la correction
95 = 5 × 19 + 0. Le quotient entier est 19 et le reste 0. 95 est divisible par 5.
95 = 6 × 15 + 5. Le quotient entier est 15 et le reste 5, bien compris entre 0 et 6 exclu. 95 n'est pas divisible par 6 : 15 groupes de 6 donnent 90, et il reste 5.
96 = 6 × 16 + 0. Le quotient entier est 16 et le reste 0. 96 est divisible par 6.
Passer de 95 à 96 a permis de compléter le dernier groupe de 6. Le critère porte sur le reste, pas sur la proximité entre les nombres.
Exercice 3 — Deux listes différentes
Démarche : lister, puis justifier que rien n'a été oublié.
Donne tous les diviseurs strictement positifs de 30 et explique pourquoi ta liste est complète.
Donne les multiples de 6 compris entre −18 et 24, bornes incluses. Ici, « bornes incluses » signifie que −18 et 24 doivent être examinés eux aussi.
Explique pourquoi 0 figure dans la deuxième liste mais pas dans la première.
Indice 1 : cherche des paires de facteurs pour 30. Indice 2 : pour les multiples, pars de −18 et ajoute 6 à chaque étape. Indice 3 : pour justifier la liste des diviseurs, deux facteurs tous deux au moins égaux à 6 pourraient-ils donner 30 ? Quels petits facteurs dois-tu avoir testés ?
Comprendre la correction
Les paires de facteurs de 30 sont 1 × 30, 2 × 15, 3 × 10 et 5 × 6. Ses diviseurs strictement positifs sont donc 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
Pour contrôler qu'il n'en manque pas, examinons les petits facteurs possibles : 1, 2, 3, 4 et 5. Seul 4 ne divise pas 30. Une paire dont les deux facteurs seraient au moins 6 aurait un produit au moins égal à 36 ; elle ne pourrait donc pas donner 30. Toutes les paires ont été examinées.
Les multiples de 6 demandés sont −18, −12, −6, 0, 6, 12, 18 et 24. Ils s'obtiennent en multipliant 6 par les entiers de −3 à 4.
Zéro apparaît car 0 = 6 × 0. Il n'est pas un diviseur strictement positif de 30 : il n'est pas supérieur à zéro, et aucun entier k ne vérifie 30 = 0 × k.
Exercice 4 — Expliquer sans calculer la somme
Démarche : démontrer une propriété générale. A et B sont deux multiples de 6. Explique pourquoi A + B est un multiple de 6, sans choisir de valeurs particulières pour A et B. Pour des quantités positives, commence avec des paquets ; pour couvrir tous les entiers relatifs, écris le raisonnement avec des lettres.
Si les lettres te freinent, explique d'abord le regroupement de paquets avec des mots. Tu reprendras l'écriture algébrique après la distributivité ; cette preuve reste un objectif du parcours normal.
Indice 1 : écris A = 6m et B = 6n, avec m et n entiers. Indice 2 : regroupe les deux termes à l'aide du facteur commun 6.
Comprendre la correction
Dire que A et B sont des multiples de 6 permet d'écrire A = 6m et B = 6n, pour deux entiers m et n. Alors :
La somme m + n est un entier. Nous avons donc écrit A + B comme 6 multiplié par un entier, ce qui prouve que A + B est un multiple de 6.
Avec des paquets positifs, cela revient à réunir m paquets et n paquets de même taille 6. L'écriture algébrique couvre aussi les entiers négatifs. Une bonne réponse explique ce qui reste entier ; une liste d'exemples ne remplace pas cet argument général.
Exercice 5 — Une affirmation à tester
Lina affirme : « Si la somme de deux entiers est un multiple de 6, alors chacun de ces entiers est un multiple de 6. »
Démarche : réfuter par un contre-exemple. Trouve deux entiers dont la somme est un multiple de 6, alors qu'au moins l'un d'eux n'en est pas un. Explique pourquoi ton exemple suffit à montrer que l'affirmation de Lina est fausse.
Indice 1 : essaie de construire une somme égale à 6. Indice 2 : un seul exemple qui contredit une affirmation générale suffit à la réfuter ; on l'appelle un contre-exemple.
Comprendre la correction
Lina a tort. Par exemple, 1 + 5 = 6 est un multiple de 6, alors que ni 1 ni 5 n'est un multiple de 6. C'est un contre-exemple : il remplit la condition annoncée par Lina, mais pas sa conclusion.
La propriété du cours fonctionne dans un sens : deux multiples de 6 donnent une somme multiple de 6. On ne peut pas inverser ce raisonnement sans nouvelle justification. D'autres contre-exemples corrects sont possibles, par exemple 2 + 4 = 6.
5. Résoudre des problèmes
Les données des deux situations suivantes sont fictives. Les contraintes font partie du problème : une réponse numérique doit être interprétée pour prendre une décision.
Exercice 6 — Commander juste ce qu’il faut
Une association prépare un atelier pour 84 personnes, avec un carnet par personne. Un fournisseur propose des paquets de 6 carnets à 4,20 € ; un autre, des paquets de 8 carnets à 5,40 €. Tous les carnets sont identiques, les paquets ne peuvent pas être ouverts avant l'achat et les frais de livraison sont nuls.
Pour les deux questions, l'association choisit un seul fournisseur : elle ne mélange pas les offres.
L'association souhaite d'abord acheter exactement 84 carnets, sans surplus. Quelle offre convient et à quel coût ?
Elle accepte ensuite un surplus, mais veut payer le moins possible. En choisissant un seul fournisseur, combien de paquets doit-elle acheter chez chacun pour servir tout le monde ? Quelle offre choisir ?
Indice 1 : distingue « sans reste » et « avoir au moins assez ». Indice 2 : dix paquets de 8 suffisent-ils pour 84 personnes ?
Comprendre la correction
Sans surplus, 84 = 6 × 14 permet d'acheter 14 paquets de 6. Cela coûte 14 × 4,20 € = 58,80 €. Des paquets de 8 ne conviennent pas pour obtenir exactement 84 : 84 = 8 × 10 + 4.
Avec un surplus autorisé, le fournisseur de paquets de 6 demande toujours 14 paquets, soit 84 carnets pour 58,80 €. Chez l'autre fournisseur, 10 paquets donnent seulement 80 carnets : quatre personnes n'en auraient pas. Il faut 11 paquets, soit 88 carnets, pour 11 × 5,40 € = 59,40 €.
L'association choisit donc les paquets de 6 : ils coûtent 0,60 € de moins et ne créent aucun surplus. Le prix apparent d'un paquet ne suffit pas pour comparer : il faut calculer le nombre entier de paquets nécessaires. Ces conclusions dépendent des hypothèses données, notamment l'absence de frais de livraison et le choix d'un seul fournisseur.
Exercice 7 — Répartir un stock sans reste
Un atelier dispose de 72 crayons et de 48 gommes. Il souhaite préparer des kits identiques : chaque kit doit contenir le même nombre de crayons et le même nombre de gommes. Tout le stock doit être utilisé. L'atelier hésite entre 6, 8 ou 9 kits.
Quelles options sont possibles ? Justifie pour chaque stock.
Chaque kit doit finalement contenir au moins 8 crayons et au moins 7 gommes. Parmi les trois options annoncées, laquelle convient ? Donne le contenu d'un kit.
Indice 1 : le nombre de kits doit diviser les deux quantités. Indice 2 : une répartition sans reste ne garantit pas encore que le contenu minimal demandé est respecté.
Comprendre la correction
6 kits : 72 = 6 × 12 et 48 = 6 × 8. Chaque kit contient 12 crayons et 8 gommes ; aucun objet ne reste.
8 kits : 72 = 8 × 9 et 48 = 8 × 6. Chaque kit contient 9 crayons et 6 gommes ; aucun objet ne reste.
9 kits : les crayons se partagent, puisque 72 = 9 × 8. Mais 48 = 9 × 5 + 3 : les gommes ne peuvent pas être réparties également sans reste. Cette option est impossible.
Pour la première question, 6 ou 8 kits conviennent. Avec le contenu minimal, 6 kits est la seule option parmi les trois proposées : 12 crayons et 8 gommes respectent les deux seuils. L'option 8 kits ne donne que 6 gommes par kit, au lieu des 7 requises.
Il fallait donc vérifier deux choses : la divisibilité de chaque stock, puis le respect des besoins de chaque kit. Nous ne cherchions pas toutes les répartitions possibles, seulement celles annoncées.
Aller plus loin Facultatif
Exercice 8 — Défi facultatif
Démarche : tester une conclusion, puis démontrer un lien entre deux informations. Un entier n est choisi. On sait que n + 2 et n + 8 sont des multiples de 6.
Peut-on conclure que n est un multiple de 6 ? Si tu penses que non, donne un contre-exemple et vérifie les deux informations ; si tu penses que oui, il faut une preuve générale.
Si l'on sait seulement que n + 2 est un multiple de 6, peut-on déjà en déduire que n + 8 l'est aussi ? Justifie avec une égalité générale et la propriété sur la somme, sans te limiter à un exemple numérique.
Indice 1 : cherche d'abord une valeur simple de n. Indice 2 : compare n + 8 à n + 2 : que leur différence vaut-elle ? Indice 3 : complète n + 8 = (n + 2) + …, puis utilise la propriété sur la somme.
Comprendre la correction
On ne peut pas conclure que n est un multiple de 6. Prenons n = 4 : n + 2 = 6 et n + 8 = 12 sont deux multiples de 6, mais 4 ne l'est pas. Cet exemple suffit à réfuter la conclusion.
Oui, la première information suffit à obtenir la seconde. On a n + 8 = (n + 2) + 6. Si n + 2 est un multiple de 6, on lui ajoute un autre multiple de 6, donc le résultat l'est aussi. Avec des lettres : si n + 2 = 6k pour un entier k, alors n + 8 = 6k + 6 = 6(k + 1), et k + 1 est entier.
Les deux informations ne sont donc pas indépendantes : la seconde découle déjà de la première.